Adakah satu pasukan ahli matematik hanya mengambil langkah besar untuk menjawab soalan 160 tahun, bernilai jutaan dolar dalam matematik?
Mungkin. Para kru telah menyelesaikan beberapa soalan lain yang lebih kecil dalam bidang yang disebut teori nombor. Dan dengan berbuat demikian, mereka telah membuka semula jalan lama yang mungkin akhirnya membawa kepada jawapan kepada soalan lama: Adakah hipotesis Riemann betul?
Hipotesis Reimann adalah ramalan matematik asas yang mempunyai implikasi besar untuk seluruh matematik. Ia membentuk asas untuk banyak idea matematik lain - tetapi tiada siapa yang tahu jika itu benar. Kesahannya telah menjadi salah satu soalan terbuka yang paling terkenal dalam matematik. Ia adalah salah satu daripada tujuh "Masalah Milenium" yang dibentangkan pada tahun 2000, dengan janji bahawa siapa saja yang menyelesaikannya akan menang $ 1 juta. (Hanya salah satu masalah yang telah diselesaikan.)
Di manakah idea ini datang?
Kembali pada tahun 1859, ahli matematik Jerman bernama Bernhard Riemann mencadangkan jawapan kepada persamaan matematik yang sangat berduri. Hipotesisnya seperti ini: Bahagian sebenar setiap sifar non-remeh fungsi Riemann zeta adalah 1/2. Itulah pernyataan matematik yang sangat abstrak, dengan kaitan dengan nombor apa yang anda boleh masukkan ke dalam fungsi matematik tertentu untuk menjadikan fungsi itu sama dengan sifar. Tetapi ternyata perkara penting, yang paling penting berkaitan dengan persoalan berapa kali anda akan menghadapi nombor utama ketika anda menghitung ke arah infiniti.
Kami akan kembali kepada butiran hipotesis kemudian. Tetapi perkara penting untuk mengetahui sekarang ialah jika hipotesis Riemann adalah benar, ia menjawab banyak soalan dalam matematik.
"Selalunya dalam teori nombor, apa yang akan berlaku adalah jika anda menganggap hipotesis Riemann, anda kemudian dapat membuktikan semua jenis keputusan lain," kata Lola Thompson, seorang ahli teori nombor di Oberlin College di Ohio, yang tidak terlibat dalam penyelidikan terkini ini, berkata.
Selalunya, dia memberitahu Live Science, ahli teori pertama akan membuktikan bahawa sesuatu adalah benar jika hipotesis Riemann adalah benar. Kemudian mereka akan menggunakan bukti itu sebagai sejenis batu loncatan ke arah bukti yang lebih rumit, yang menunjukkan bahawa kesimpulan asal mereka adalah benar sama ada hipotesis Riemann adalah benar.
Fakta bahawa helah ini berfungsi, katanya, meyakinkan ramai ahli matematik bahawa hipotesis Riemann mestilah benar.
Tetapi sebenarnya adalah tiada siapa tahu pasti.
Langkah kecil ke arah bukti?
Jadi bagaimanakah pasukan matematik kecil ini nampaknya membawa kita lebih dekat ke arah penyelesaian?
"Apa yang telah kami lakukan dalam kertas kerja kami," kata Ken Ono, seorang ahli teori di Universiti Emory dan pengarang bersama bukti baru, "apakah kami mengkaji semula kriteria yang sangat teknikal yang sama dengan hipotesis Riemann ... dan kami membuktikan besar sebahagian daripadanya Kami membuktikan sebahagian besar kriteria ini. "
"Kriteria yang bersamaan dengan hipotesis Riemann," dalam kes ini, merujuk kepada kenyataan berasingan yang bersamaan dengan hipotesis Riemann.
Ia tidak jelas pada pandangan pertama mengapa kedua-dua kenyataan itu bersambung. Kriteria ini ada kaitan dengan sesuatu yang disebut "hyperbolicity polynomials Jensen.") Tetapi pada tahun 1920an, ahli matematik Hungary bernama George Pólya membuktikan bahawa jika kriteria ini benar, maka hipotesis Riemann adalah benar - dan sebaliknya. Ia merupakan laluan yang dicadangkan untuk membuktikan hipotesis, tetapi yang telah banyak ditinggalkan.
Ono dan rakan-rakannya, dalam makalah yang disiarkan pada 21 Mei di dalam akhbar Proceedings of the Academy of Natural Sciences (PNAS), membuktikan bahawa dalam banyak kes, kriteria adalah benar.
Tetapi dalam matematik, ramai yang tidak cukup untuk dikira sebagai bukti. Masih terdapat beberapa kes di mana mereka tidak tahu sama ada kriteria itu benar atau palsu.
"Ia seperti bermain Powerball juta," kata Ono. "Dan anda tahu semua nombor tetapi yang terakhir 20. Sekiranya salah satu daripada 20 nombor terakhir adalah salah, anda akan kehilangan ... Ini masih boleh dibatalkan."
Penyelidik perlu membuat bukti yang lebih maju untuk menunjukkan kriteria adalah benar dalam semua kes, dengan itu membuktikan hipotesis Riemann. Dan tidak jelas betapa jauhnya bukti itu, kata Ono.
Jadi, betapa besar kesepakatan adalah kertas ini?
Dari segi hipotesis Riemann, sukar untuk mengatakan betapa besar kesepakatan ini. Banyak bergantung kepada apa yang berlaku seterusnya.
"Ini adalah salah satu daripada banyak rumusan yang sama dengan hipotesis Riemann," kata Thompson.
Dengan kata lain, terdapat banyak idea lain yang, seperti kriteria ini, akan membuktikan bahawa hipotesis Riemann adalah benar jika mereka sendiri terbukti.
"Oleh itu, sangat sukar untuk mengetahui sejauh mana kemajuan ini, kerana pada satu pihak ia telah mencapai kemajuan ke arah ini.Tetapi terdapat banyak rumusan yang sama bahawa mungkin arah ini tidak akan menghasilkan hipotesis Riemann. teorem setaraf yang lain sebaliknya akan, jika seseorang boleh membuktikan salah satu daripada mereka, "kata Thompson.
Sekiranya bukti muncul di trek ini, maka itu mungkin bermakna Ono dan rakan-rakannya telah membangunkan satu rangka kerja yang penting untuk menyelesaikan hipotesis Riemann. Tetapi jika ia muncul di tempat lain, maka kertas ini akan berubah menjadi kurang penting.
Namun, ahli matematik terkesan.
"Walaupun ini jauh dari membuktikan hipotesis Riemann, ia adalah satu langkah besar ke hadapan," kata Encrico Bombieri, seorang teorit nombor Princeton yang tidak terlibat dalam penyelidikan pasukan, menulis dalam artikel 23 Mei yang disertakan. "Tidak ada keraguan bahawa makalah ini akan mengilhami kerja asas yang lebih penting dalam bidang teori nombor lain serta dalam fizik matematik."
(Bombieri memenangi medan Field - hadiah yang paling berprestij dalam matematik - pada tahun 1974, sebahagian besarnya untuk kerja yang berkaitan dengan hipotesis Riemann.)
Apa arti hipotesis Riemann?
Saya berjanji akan kembali kepada ini. Inilah hipotesis Riemann sekali lagi: Bahagian sebenar setiap sifar non-remeh fungsi Riemann zeta adalah 1/2.
Mari pecahkannya mengikut cara bagaimana Thompson dan Ono menerangkannya.
Pertama, apakah fungsi Riemann zeta?
Dalam matematik, fungsi adalah hubungan antara kuantiti matematik yang berlainan. Yang mudah kelihatan seperti ini: y = 2x.
Fungsi Riemann zeta mengikuti prinsip asas yang sama. Hanya ia lebih rumit. Inilah yang kelihatan seperti itu.
Ini adalah jumlah jujukan tak terhingga, di mana setiap istilah - beberapa pertama adalah 1/1 ^ s, 1/2 ^ s dan 1/3 ^ s - ditambah dengan syarat sebelumnya. Itu elips bermaksud siri dalam fungsi terus berlaku seperti itu, selama-lamanya.
Sekarang kita dapat menjawab soalan kedua: Apa sifar fungsi Riemann zeta?
Ini lebih mudah. Satu "sifar" fungsi adalah sebarang nombor yang anda boleh masukkan untuk x yang menyebabkan fungsi menjadi sifar sama.
Soalan seterusnya: Apakah "bahagian sebenar" salah satu sifar tersebut, dan apakah maksudnya sama dengan 1/2?
Fungsi Riemann zeta melibatkan apa yang disebut oleh ahli matematik "nombor kompleks." Nombor kompleks kelihatan seperti ini: a + b * i.
Dalam persamaan itu, "a" dan "b" berdiri untuk apa-apa bilangan sebenar. Nombor sebenar boleh menjadi apa-apa dari minus 3, menjadi sifar, kepada 4.9234, pi, atau 1 bilion. Tetapi ada satu lagi jenis nombor: nombor khayalan. Nombor imajiner muncul apabila anda mengambil punca kuasa dua nombor negatif, dan mereka penting, muncul dalam semua jenis konteks matematik.
Nombor khayalan yang paling mudah ialah punca kuasa -1, yang ditulis sebagai "i." Nombor kompleks adalah nombor nyata ("a") ditambah nombor sebenar yang lain ("b") i. "Bahagian sebenar" nombor kompleks ialah "a."
Sebilangan sifar fungsi Riemann zeta, integer negatif antara -10 dan 0, tidak dikira untuk hipotesis Reimann. Ini dianggap sifar "sepele" kerana ia nombor sebenar, bukan nombor kompleks. Semua nol yang lain adalah nombor "tidak remeh" dan kompleks.
Hipotesis Riemann menyatakan bahawa apabila fungsi Riemann zeta melintasi sifar (kecuali bagi sifar di antara -10 dan 0), bahagian sebenar nombor kompleks mesti sama dengan 1/2.
Dakwaan kecil itu mungkin tidak begitu penting. Tetapi ia adalah. Dan kita mungkin hanya sedikit remaja yang lebih dekat untuk menyelesaikannya.
