"Untuk tak terhingga dan seterusnya!"
Pernahkah anda berfikir dengan terperinci mengenai filem catchphrase Buzz Lightyear yang terkenal dari filem "Toy Story"? Mungkin tidak. Tetapi mungkin anda kadang-kadang memandang ke langit malam dan bertanya-tanya tentang sifat infiniti itu sendiri.
Infiniti adalah satu konsep yang pelik, yang mana otak manusia mempunyai masa yang sukar membungkus pemahamannya yang terhad. Kami mengatakan bahawa alam semesta mungkin tidak terhingga, tetapi bolehkah ia terus berjalan selama-lamanya? Atau angka pi selepas perpuluhan - adakah mereka sebenarnya berjalan tanpa henti, selalu memberikan kita lebih ketepatan mengenai nisbah antara lilitan dan jejari bulatan? Dan, boleh Buzz betul? Adakah terdapat sesuatu di luar infiniti?
Untuk mengatasi spekulasi minda ini, Live Science meminta bantuan matematikawan Henry Towsner dari University of Pennsylvania di Philadelphia, yang cukup baik untuk cuba menjawab soalan itu, "Bolehkah anda menghitung infiniti masa lalu?" (Harap diperhatikan: ini akan menjadi rumit.)
Infinity, Towsner berkata, duduk di tempat yang aneh: Kebanyakan orang merasa seperti mereka mempunyai intuisi mengenai konsep itu, tetapi semakin mereka memikirkannya, pelopor itu mendapat.
Di sebaliknya, ahli matematik tidak sering berfikir tak terbatas sebagai konsep sendiri, katanya. Sebaliknya, mereka menggunakan cara yang berbeza untuk memikirkannya untuk mendapatkan banyak aspek.
Sebagai contoh, terdapat pelbagai saiz infiniti. Ini terbukti oleh ahli matematik Jerman, Georg Cantor pada akhir 1800-an, menurut sejarah dari Universiti St Andrews di Scotland.
Cantor tahu bahawa bilangan semula jadi - iaitu, jumlah keseluruhan, positif seperti 1, 4, 27, 56 dan 15,687 - terus selamanya. Mereka tidak terbatas, dan mereka juga menggunakan apa yang kita gunakan untuk mengira perkara, jadi ia menyatakan mereka sebagai "terhingga tak terhingga," menurut tapak yang berguna dalam sejarah, matematik dan topik lain dari kartunis pendidikan Charles Fisher Cooper.
Kumpulan nombor-nombor yang tidak terhingga mempunyai beberapa ciri yang menarik. Sebagai contoh, bilangan nombor (2, 4, 6, dan sebagainya) juga tidak terhingga. Dan sementara secara teknis separuh daripada kebanyakan mereka sebagai yang dikelilingi oleh set lengkap bilangan semula jadi, mereka masih sama tanpa batas.
Dalam erti kata lain, anda boleh meletakkan semua nombor walaupun dan semua nombor semulajadi bersebelahan dalam dua lajur dan kedua-dua lajur akan pergi ke tak terhingga, tetapi mereka adalah sama "panjang" tak terhingga. Ini bermakna separuh daripada infiniti yang terhitung masih tak terhingga.
Tetapi pandangan besar Cantor adalah menyedari bahawa ada set nombor lain yang tidak terhingga tak terhingga. Nombor sebenar - yang termasuk nombor semula jadi serta pecahan dan nombor yang tidak rasional seperti pi - lebih banyak daripada nombor semula jadi. (Jika anda ingin tahu bagaimana Cantor melakukannya dan boleh menangani notasi matematik, anda boleh menyemak lembaran kerja ini dari University of Maine.)
Sekiranya anda menyusun semua nombor semulajadi dan semua nombor sebenar bersebelahan dalam dua lajur, bilangan sebenar akan menghampiri infiniti nombor semula jadi. Cantor kemudian menjadi gila, mungkin kerana alasan yang tidak berkaitan dengan karyanya tanpa batas, menurut Cooper.
Apa yang dikira?
Jadi, kembali kepada persoalan mengira infiniti masa lalu. "Apa yang anda katakan matematik ialah, 'Apa maksudnya?" Kata Towsner. "Apa maksudmu dengan menghitung tak terhingga masa lalu?"
Untuk mendapatkan isu itu, Towsner bercakap mengenai nombor ordinal. Tidak seperti nombor kardinal (1, 2, 3 dan sebagainya), yang memberitahu anda berapa banyak perkara dalam satu set, ordinat ditakrifkan oleh kedudukan mereka (pertama, kedua, ketiga, dan lain-lain), dan mereka juga diperkenalkan ke dalam matematik oleh Cantor, menurut laman web matematik Wolfram MathWorld.
Dalam nombor ordinal adalah konsep yang disebut omega, yang ditandakan dengan huruf Greek ω, kata Towsner. Simbol ω ditakrifkan sebagai perkara yang datang selepas semua nombor semula jadi lain - atau, seperti yang disebut Cantor, ordinal transfinite pertama.
Tetapi salah satu perkara tentang nombor adalah bahawa anda sentiasa boleh menambah satu lagi pada akhirnya, kata Towsner. Jadi ada perkara seperti ω + 1, dan ω + 2 dan juga ω + ω. (Sekiranya anda tertanya-tanya, anda akhirnya memukul nombor yang dipanggil ω1, yang dikenali sebagai ordinal yang tidak dapat dijelaskan pertama.)
Dan kerana mengira jenis seperti menambah nombor tambahan, konsep ini dengan cara membolehkan anda mengira tak terhingga masa lalu, kata Towsner.
Ketiadaan semua ini adalah sebahagian daripada sebab ahli matematik yang mendesak dengan teliti menentukan istilah mereka, tambahnya. Kecuali semuanya teratur, sukar untuk memisahkan intuisi manusia biasa kita dari apa yang boleh dibuktikan secara matematik.
"Matematik memberitahu anda, 'Introspek dengan mendalam, apa yang dikira?" Kata Towsner.
Bagi kita manusia semata-mata, idea-idea ini sukar untuk dikira sepenuhnya. Bagaimana sebenarnya ahli matematik yang bekerja menangani semua perniagaan lucu ini dalam penyelidikan sehari-hari mereka?
"Banyaknya amalan," kata Towsner. "Anda mengembangkan intuitions baru dengan pendedahan, dan apabila intuisi gagal, anda boleh berkata, 'Kami bercakap tentang bukti tepat demi langkah yang tepat ini.' Jadi jika bukti ini mengejutkan, kita masih boleh memastikan bahawa ia betul, dan kemudian belajar mengembangkan intuisi baru di sekelilingnya. "
